4.3 유도기의 등가회로

유도기의 등가회로는 어떠한 방식으로 표시될 수 있을까요? 개요에서 설명한 바와 같이 등가회로는 변압기와 상당히 유사한 부분이 있습니다. 또한 동기기의 등가회로를 기억하십시오. 동기기에서의 2 차측에 해당하는 부분이 단락되어 있습니다. 이러한 사실로부터 유도기의 등가회로를 유도할 수 있습니다.

4.3.1 등가 회로의 유도

동기 전동기의 등가회로를 생각해봅시다. 동기 전동기에서는 단자 전압을 인가하면 이것이 고정자 저항과 리액턴스에 인가되는 전압과 내부의 역기전력의 값과 평형을 이루는 구조로 되어있습니다. 등가회로로 분석할 때 동기 전동기 등가회로와 무엇이 같고 무엇이 다를까요?

그림 4.3 유도 전동기의 등가회로

고정자의 구조는 같습니다. 고정자의 저항과 리액턴스는 동일하게 표현됩니다. 유도 전동기에서는 역기전력 부분이 없습니다. 동기기에서는 역기전력은 회전자의 직류전원이 동기속도로 회전하면서 유기되는 전원이었습니다. 유도 전동기는 회전자측에 이러한 전원이 없고 단락되어 있습니다. 1 차측에 흐르는 전류에 의해서 발생한 자속이 2 차측에 전압을 유기한다는 사실은 변압기의 원리와 같습니다. 2 차측이 단락되어 있는 변압기로 볼 수 있습니다. 이러한 사실로부터 유도 전동기의 등가회로를 구성할 수 있습니다.

결과적으로 등가회로는 고정자와 회전자의 등가저항과 등가 리액턴스 그리고 슬립에 의한 저항손실에 해당하는 부분으로 구성할 수 있습니다. 자세한 등가회로를 유도하기 위하여 유도기의 회전자 부분의 등가회로의 값들을 이해해야 합니다.

4.3.2 회전자의 등가 회로

회전자의 등가회로는 단락되어 순환전류를 발생하는 전기적인 역할 이외에도 고정자 측에서 받은 에너지의 일부를 기계적인 출력 (회전력) 으로 변환하는 작용이 발생하는 곳입니다. 이곳에선 발생하는 현상은 다른 전동기에서와는 많이 다릅니다.

먼저 회전자측에 유기되는 전압은 회전자의 속도에 따라서 다릅니다. 이것은 유도 전동기의 속도 및 토크 특성이 회전자의 현재 속도 (슬립) 에 의한 요소를 포함하고 있다는 것을 뜻합니다. 어쨌거나 회전자 측에 흐르는 순환전류를 $I_{r}\,$이라고 하면 이것은 회전자 구속시 유기전압 $E_{br}\,$과 회전자의 저항 $R_{r}\,$과 회전자 리액턴스 $X_{br}\,$ , 슬립 $s\,$ 의 값으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$I_{r}={\frac {sE_{br}}{\sqrt {R_{r}^{2}+(sX_{br})^{2}}}}$ (4.4)

식을 변형하기 위해 분모, 분자를 모두 $s\,$ 로 나누면 다음과 같습니다.

$I_{r}={\frac {E_{br}}{\sqrt {(R_{r}/s)^{2}+(X_{br}^{2})}}}$ (4.5)

변형된 식은 전류 $I_{r}\,$과 전압 $E_{br}\,$의 관계에 의한 관계식으로 되었습니다. 전압에 관한 항목을 변화하는 값에서 일정한 값으로 가정을 하였습니다. 이제 등가회로적으로 2 차측 (회전자측) 에 유기되는 전압이 일정하다고 가정하고 해석하겠습니다. 물론 슬립에의해서 영향을 받던 전압의 변화가 실제로 바뀐 것은 아닙니다. 다만 해석적으로 전압을 일정하다고 놓고 변화하는 슬립을 다른 요소가 담당하도록 해석을 하겠다는 것입니다.

수식을 변화하고 보니 오히려 리액턴스 부분도 슬립에 영향을 받지 않고 값이 변하지 않는 항목으로 변형되었습니다. 문제는 저항에 해당하는 항목이 ${\frac {R_{r}}{s}}$으로 바뀌었습니다. 저항 부분이 슬립의 영향을 받는 것으로 바뀌었습니다. 이 부분을 다음과 같이 나누어 해석을 하여보겠습니다.

${\frac {R_{r}}{s}}={\frac {R_{r}}{s}}+R_{r}-R_{r}=R_{r}+R_{r}{\frac {1-s}{s}}$ (4.6)

저항분에 전달되는 것은 유효전력에 해당하는 부분이고 이것이 바로 전동기의 동손과 기계적인 회전력으로 사용되는 부분입니다. 즉 ${\frac {R_{r}}{s}}$ 는 유효 전력이 전달되는 부분이며 $R_{r}{\frac {1-s}{s}}$ 은 동손이 발생하는 부분 $I_{r}^{2}$ 은 동손을 제한 기계적인 회전력이 발생되는 부분(부하저항)입니다. 이 개념은 값을 양변에 곱하면 확실하게 이해할 수 있습니다.

$I_{r}^{2}{\frac {R_{r}}{s}}={I_{r}^{2}}{R_{r}}+{I_{r}^{2}}R_{r}{\frac {1-s}{s}}$ (4.7)

이 식은 회전자에 전달되는 총에너지와 회전자에서 발생하는 동손과 회전자에 발생하는 기계적 에너지의 관계를 보여줍니다. 회전자에 전달되는 총에너지와 발생하는 기계적 에너지의 관계는 다음과 같이 보여줄 수 있습니다. 회전자에 전달되는 총에너지를 RPI (Rotor Power Input), 회전자의 동손을 RCL (Rotor Copper Loss), 회전자에서 기계적 동력으로 변환되는 전력을 RPD (Rotor Power Developed) 라고 하면 RPI 와 RPD 사이에는 다음의 관계가 성립합니다.

$RPD=RPI(1-s)\,$ (4.8)

• RPI:2차 입력($P_{2}\,$)
• RCL:2차 손실($P_{2c}\,$)
• RPD: 출력 ($P_{o}\,$)

이 식은 회전자에 전달되는 에너지는 정지시에는 전부 동손으로 사용되며, 동기속도로 운전시에는 전부 기계적인 동력으로 사용되는 사실을 의미합니다. 축에 전달되는 출력에서 실제로는 기계적인 손실을 제외한 부분이 출력됩니다. 이러한 손실을 무시하고 발생된 기계적 출력이 축에 모두 전달된다고 가정하면 다음과 같이 토크의 식을 구할 수 있습니다.

$T={\frac {RPD}{\omega _{r}}}[N\cdot m]$ (4.9)

여기서 $\omega _{r}\,$ 은 회전자의 주어진 슬립에서의 각속도입니다. 이상과 같이 얻어진 회전자의 성분을 고려한 최종적인 등가회로는 그림 4.4와 같이 주어지는 것을 확인할 수 있습니다.

그림 4.4 유도 전동기의 최종 등가회로

그림 4.5는 RPI, RPD, RCL의 관계를 나타내는 프로그램에 대한 것입니다. 슬립 “s"의 값을 변화하며 검은 화살표로 표시되는 RPD와 RCL의 크기에 주목해 보십시오. 각각의 비율은 슬립의 값과 같습니다. 예로 슬립을 0.5에 놓으면 두개의 값이 같아지고 이는 (4.8)식에서와 같이 RPI의 반에 해당하는 값이 되며 RPD와 RCL의 값이 같아집니다.

그림 4.5 RPI, RPD, RCL의 관계

4.3.3 토크 특성 곡선

유도 전동기의 토크는 회전속도에 관한 함수로 구성됩니다. 앞에서 공부한 유도 전동기의 동작원리와 등가회로에 근거하여 회전자 회전속도에 대한 토크 특성 변화곡선을 구하는 것이 가능합니다. 식 (4.9)에서 RPD 의 값은 RPI(1-s) 로 표시되며 그 값은 $I_{r}^{2}R_{r}{\frac {1-s}{s}}$ (4.10) 으로 표현됩니다. 여기서 $I_{r}\,$ 의 값은 식 (4.5) 와 같으므로, 지금까지 구한 값을 차례로 대입하면 토크에 대한 식을 식 (4.10)와 같이 구할 수 있습니다.

$T={\frac {1}{\omega _{r}}}{\frac {(1-s)E_{br}^{2}}{R_{r}^{2}/s+s(X_{br}^{2})}}R_{r}$ (4.11)

여기서 $\omega _{r}\,$ 을 회전자의 주파수 $f_{s}\,$ 와 각주파수 $\omega _{s}\,$를 이용하여 슬립 $s\,$을 표현한 식으로 정리하면

$s={\frac {\omega _{s}-\omega _{r}}{\omega _{s}}}$ (4.12a)

$\omega _{r}=(1-s)\omega _{s}\,$ (4.12b)

$\omega _{r}=2\pi f_{r}=2\pi (1-s)f_{s}\,$ (4.12c)

이므로

$T={\frac {1}{2\pi f_{s}}}{\frac {E_{br}^{2}}{R_{r}^{2}/s+s(X_{br}^{2})}}R_{r}$ (4.13)

식을 변형하기 위해 분모, 분자에 모두 $s\,$ 로 곱해주면 다음과 같습니다.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = \frac{1}{{2\pi f_s }}\frac{{sE_{br}^2 }}{{R_r^2 + (sX_{br} )^2 }}R_r }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac { 1 }{ { 2\pi f_{ s } } } \frac { { sE_{ br }^{ 2 } } }{ { R_{ r }^{ 2 }+(sX_{ br })^{ 2 } } } R_{ r }\frac { \frac { 1 }{ { s }^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ { s }^{ 2 } } } } Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac { 1 }{ { 2\pi f_{ s } } } \frac { { E_{ br }^{ 2 } } }{ { \frac { R_{ r }^{ 2 } }{ { s }^{ 2 } } +(X_{ br })^{ 2 } } } \frac { R_{ r } }{ { s } } } Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac { 1 }{ { 2\pi f_{ s } } } \frac { { E_{ br }^{ 2 } } }{ { { \left( \frac { R_{ r } }{ { s } } \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 } } } \left( \frac { R_{ r } }{ { s } } \right)}

토크의 값은 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac { R_{ r } }{ { s } } \right) } 에 관한 함수입니다. 나머지의 값들은 전부 기계의 특성 에의해서 정해지는 기계 정수임을 주목하십시오.

• 최대토크시 스립의 크기(비례추이)

일정한 토크 값을 유지하는 상태에서 현재 특정 슬립값으로 유도전동기가 운전하고 있다면 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac { R_{ r } }{ { s_{1}} } \right) } 의 값을 만족하고 있다고 봅니다. 만약에 저항 r을 추가한다면 새로운 슬립값에서 운전하게 됩니다. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac { R_{ r }+r }{ { s_{2 } }} \right) } 즉, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac { R_{ r } }{ { s _{1} }} \right) =\left( \frac { R_{ r }+r }{ { s_{2 } }} \right) } 을 만족하는 s₂ 의 값으로 회전하게 되므로 이 회전값을 구할 수 있습니다. 또한 원하는 회전값이 있다면 추가할 저항 r의 값을 구하는 것도 가능합니다. 토크가 최대가 되려면Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {R_r^2 + (sX_{br} )^2 }} 의 크기가 1이 되어야 함으로 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_r^2 = (sX_{br} )^2 } 입니다. 그 이유는 아래와 같은 미분 방식으로 얻을 수 있습니다. 위의 식은 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac { R_{ r } }{ { s } } \right) } 에 관한 함수로 생각할 수 있으므로 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac { { 1 } }{ { { \left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 } } } \left( x \right) } 의 식으로 볼 수 있습니다. 이 함수의 미분을 구하면

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac { { x } }{ { { \left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 } } } \rightarrow \frac { { { (\left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 })-x\times 2x } }{ { { { (\left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 }) }^{ 2 } } } =\frac { { { -\left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 } } }{ { { { (\left( x \right) }^{ 2 }+(X_{ br })^{ 2 }) }^{ 2 } } } =0 }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rightarrow (X_{br}+x) (X_{br}-x)=0\rightarrow (X_{br}-x)=0 }

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\rm s = }\frac{{{\rm R}_{\rm r} }}{{{\rm X}_{{\rm br}} }}} 이므로 저항이 증가하면 최대토크가 발생하는 슬립값도 증가하게 되는데 됩니다. 물론 최대토크가 발생하는 위치가 변동하는 것이고 최대토크의 값는 일정합니다.

회전자의 각속도는 또한 슬립의 함수입니다. 주어진 식을 이용해서 슬립에 대한 토오크의 특성을 그래프로 그리는 것이 가능합니다. 그림 4.5 는 전압 변동에 따른 유도기 토크의 특성 곡선값을 보여줍니다. 구해진 식으로부터 토크값은 인가 전압의 제곱에 비례하는 특성을 갖고 있음을 알 수 있고 그래프에서도 이러한 사실을 확인할 수 있습니다. 그림에서의 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} 좌표는 회전자의 회전 속도입니다. 시작점은 슬립으로 계산하면 그 값이 1 이며 회전속도는 0 이 됩니다. 토크 특성곡선이 0 이되는 점은 슬립으로 계산하면 그 값이 0 이 되며 회전속도는 동기속도가 됩니다. 기동 토크는 시작점에서의 토크값을 말하며 유도기의 토크 특성식에서 이 값은 0 이 아닙니다. 즉 기동토크가 존재하며 이 값은 동기기와 달리 유도기는 전원을 인가하면 자체적으로 회전을 하는 이유입니다. 기동토크의 값은 식으로부터 유도할 수 있는데 이는 기동시에는 슬립이 1 이므로 이 값을 토크 특성식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$T_{st}={\frac {1}{2\pi f_{s}}}{\frac {E_{br}^{2}}{R_{r}^{2}+X_{br}^{2}}}R_{r}$ (4.14)

이상의 식으로부터 토크 특성곡선의 형태를 알아낼 수 있습니다. 종합된 의견은 다음과 같습니다. 회전자 저항의 값을 크게 하면 기동 토크가 커진다는 사실입니다. 즉 회전자 저항의 값을 크게 하면 기동시 큰 회전력을 발생할 수 있는 장점이 있습니다. 그러나 이렇게 큰 값의 회전자 저항으로 운전을 하면 정상상태에서 많은 에너지가 동손으로 소모됩니다. 회전자 저항은 양면성을 가지고 있습니다. 그림 4.6 은 회전자 저항의 변화에 따른 토크 특성 곡선의 변화를 보여줍니다. 저항의 값을 증가하면 식에서 고찰한 바와 같이 기동토크의 크기가 증가하는 것을 확인할 수 있습니다.

시뮬레이션 프로그램에서 각각 회전자 저항의 값을 0.1, 0.2, 0.3 오옴의 값으로 증가하면 그에 따라서 기동 토크가 증가하는 것을 확인할 수 있습니다.

4.3.4 유도 전동기 해석

이 절은 유도 전동기를 해석하는 애니메이션에 관한 내용입니다. 지금까지의 내용으로 유도 전동기의 특성해석은 등가회로의 해석과 그에 따른 벡터도의 해석, 그리고 이에 따른 출력 및 특성에 관계된 여러 가지의 파라미터의 값을 구하는 내용이 포함되는 것을 알 수 있습니다.

유도기 해석 애니메이션은 지금까지 다른 기기에서와는 달리 유도기해석에 대한 종합적인 결과를 고찰할 수 있습니다. 아래의 실험 4.1은 네 개의 창으로 구성되며 첫 번째 창에서는 유도기 파라미터의 값을 입력하고 두 번째 창은 일반적인 유도기 등가회로의 모양을 보여줍니다. 세 번째 창에서는 시간축에 대한 전류 및 전압성분의 파형을 보여주며, 네 번째 창에서는 유도기의 벡터도를 보여줍니다.

• 실험 4.1 유도전동기 해석

• 각 파라미터의 스크롤바를 마우스로 움직여서 크기를 조정하여 등가회로에 파라미터값을 적용합니다.

• Rs(=R1) : 고정자 등가저항[$\Omega$]
• Xs(=X1) : 고정자 리액턴스[$\Omega$]
• Rr : 회전자 등가저항[$\Omega$]
• Xr : 회전자 리액턴스[$\Omega$]
• Xm : 자화 리액턴스[$\Omega$]
• V : 단자전압[V]
• Slip : 슬립

• 상단의 두 그래프는 등가회로에서 단자전압, 저항, 슬립값을 조정하여 얻을 수 있는 파라미터들을 나타냅니다.

• V : 단자전압[V] - 노랑
• I0 : 공급전류[A]-파랑
• I1 : 여자전류[A] - 빨강
• I2 : 회전자전류[A] - 에메랄드

• "Pan" 버튼을 누른 후 그래프를 클릭한 상태로 드래그하여 전체를 이동시킬 수 있고, "Zoom"버튼을 누른 후 그래프의 원하는 구간을 드래그하여 확대시켜 볼 수 있습니다. 또한 "+", "-" 버튼으로 그래프의 범위(Scale)을 변경하여 전체를 확대, 축소할 수 있습니다.

• 왼쪽 상단의 그래프는 해당 파라미터의 파형을, 왼쪽 하단의 그래프는 파라미터가 이루는 벡터도를 나타냅니다.

입력창에서는 7가지의 파라미터값을 입력할 수 있습니다. 그 종류는 단자전압, 고정자 저항, 회전자 저항, 고정자 리액턴스, 회전자 리액턴스, 무부하 전류를 흘려주는 자화 리액턴스, 슬립등입니다.

먼저 전압을 변화하는 경우 나타나는 변화를 살펴봅시다. 단자전압은 선전류의 크기와 축토크 출력 마력의 값에 비례하므로 단자 전압의 변화와 이에 따른 선전류의 벡터적인 변화를 시간축상의 파형과 벡터도에서 모두 확인할 수 있습니다.

슬립의 변화에 대하여는 어떠한 변화를 확인할 수 있을까요? 슬립 0.99 는 거의 정지하고 있는 경우입니다. 이때 회전자 권선에는 많은 전류가 발생하며 축토크의 크기가 증가하고 출력 마력의 값도 커집니다.

벡터도에서는 벡터계산에 사용되는 전기적 등가회로의 요소들의 값을 벡터로 표시하는 것 이외에 이 파라미터의 값들을 출력합니다. 4 개의 파라미터에 대한 값들이 벡터도의 창에 나와 있습니다. 각각의 벡터도에 표시된 벡터의 색으로 벡터 성분의 값들이 표시되어 있습니다.